1.快速幂模板

前置知识

一个数字n，它的二进制位数一定是log₂n向下取整+1；

快速幂模板代码

这段代码实现了快速幂算法（Exponentiation by squaring），用来计算 ( aⁿ ) 的值，其中 ( a ) 和 ( n ) 都是整数。

int quickpow(int a, int n)
{
    int res = 1;  // 初始化结果为1，因为任何数的0次幂都是1
    while (n) {   // 当指数n不为0时，继续执行循环
        if (n & 1)  // 如果n的最低位为1（即n是奇数）
            res = res * a;  // 将当前底数a乘到结果中
        a = a * a;   // 将底数a平方，相当于底数翻倍，指数减半
        n >>= 1;     // 将指数n右移一位，相当于将指数减半
    }
    return res;  // 返回计算结果
}

现在逐句解析每一行代码的作用：

int res = 1;
- 初始化变量 res 为1，这是最终结果的初始值。任何数的0次幂都是1。
while (n) {
- 进入一个循环，条件是当指数 n 不为0时继续执行。循环将持续执行直到 n 变为0。
if (n & 1)
- 判断当前的指数 n 是否为奇数，使用位运算 n & 1 来判断。如果 n 的最低位（即最右边的二进制位）为1，则说明 n 是奇数。
res = res * a;
- 如果 n 是奇数，则将当前的底数 a 乘到结果 res 中。这步实现了快速幂算法中的乘法操作。
a = a * a;
- 然后将底数 a 自乘，即 a 变成 a^2。这一步相当于将底数翻倍，对应于指数减半的操作。
n >>= 1;
- 将指数 n 右移一位，即 n 变成 n / 2。这一步实现了快速幂算法中的指数减半操作。
循环回到第2步，直到 n 变为0，退出循环。
return res;
- 返回最终计算得到的结果 res，即底数 a 的指数 n 次幂的值。

这段代码利用了快速幂算法的思想，通过迭代和位运算的方式，将指数的计算复杂度从 ( O(n) ) 优化到 ( O(log n) )，显著提高了计算效率。

快速幂算法的形象解释

快速幂算法的例题

【模板】快速幂

题目描述

给你三个整数 \(a,b,p\)，求 \(a^b \bmod p\)。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 \(a,b,p\)。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 \(a,b,p\) 分别为题目给定的值， \(s\) 为运算结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 10 9

样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

\(2^{10} = 1024\)，\(1024 \bmod 9 = 7\)。

数据规模与约定

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(0\le a,b < 2^{31}\)，\(a+b>0\)，\(2 \leq p \lt 2^{31}\)。

答案

这题直接套用快速幂算法的模板，只需要每一步我们加上取模运算即可，注意数据需要开long long类型

#include<iostream>
using namespace std;
long long  quickpow(long long  a, long long  n,long long p)
{
	long long res = 1;
	while (n) {
		if (n & 1) res = (res * a)%p;
		a = (a * a)%p;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	long long  a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, quickpow(a, b, p));
	return 0;
}